Cuál es el módulo de una MAC Marshall

¿Cuál es el módulo elástico de una mezcla asfáltica en caliente diseñada con Marshall?

En el diseño de pavimentos por métodos semi-empíricos como AASHTO 1993, o en el caso de utilizar métodos mecanicistas como AASHTO 2002, se requiere del módulo elástico de la mezcla asfáltica bajo ciertas condiciones de temperatura y frecuencia de carga.

 

Surge entonces la pregunta que ocupa este artículo, ¿cuál es el módulo elástico de una MAC diseñada a través de un ensayo Marshall?


 

Este problema lo resolví en el año 2005, con revisión en 2010, con el apoyo de un par de mis estudiantes que se encargaron de hacer los experimentos y verificar las fórmulas.

Tanto el ensayo Marshall como la llamada «Prueba Brasilera» someten a la briqueta de mezcla asfáltica compactada a una carga a tracción indirecta. Frotch (1957), citado por los autores Yoder y Witzarck, encontró las ecuaciones de distribución de esfuerzos a lo largo del diámetro de una briqueta cilíndrica cargada verticalmente de canto, para los casos de medición del ensanchamiento horizontal (ensayo TSR o de tracción indirecta), como el caso del achatamiento vertical (más parecido al caso de carga Marshall).

Figura 1. Distribución de esfuerzos en prueba de compresión diametral.

Nota: En realidad, en el caso de carga Marshall la carga vertical se distribuye, de forma desconocida, a lo largo del área de la mordaza, pero para el caso de esta solución asumiremos que es vertical. El caso de carga con marco Lottman es más parecido a la idealización de la figura 1.

El dibujo de arriba en la figura 1, en la que se mide el ensanchamiento horizontal, se ve que las funciones de distribución de esfuerzo, tanto la vertical como la horizontal, en la briqueta son continuas en el diámetro, y su integración produciría una fórmula cerrada del módulo elástico; como de hecho existe la fórmula que se utiliza en los ensayos que miden módulo elástico en esta condición de carga (v.g., TSR, módulo resiliente).

En cambio, el dibujo de abajo en la figura 1, correspondiente a la medición del achatamiento vertical, presenta una distribución de esfuerzos de tensión discontinua, que al intentar integrar para resolver el módulo, resultaría en una indeterminación.

Para resolver esto se me ocurrió un artilugio matemático que requiere cálculo y medición en laboratorio, es decir, es una solución semi-empírica. A continuación lo explico en detalle.

Según Frocht, las ecuaciones para la distribución de esfuerzos en la briqueta son las siguientes:

Caso diametral horizontal (medición de ensanchamiento horizontal):

                                                                        (1)

                                                              (2)

                                                                                                (3)

Caso diametral vertical (achatamiento vertical):

                                                                         (4)

                                                     (5)

                                                                                                (6)

donde P = carga aplicada

            t = espesor del espécimen

            d = diámetro del espécimen

            x, y = valores de coordenada desde el centro del espécimen

Para obtener el módulo elástico en el caso de medición de ensanchamiento horizontal (v.g. módulo resiliente) se integran las expresiones como sigue:

Suponiendo que el material es idealmente elástico y homogéneo, y asumiendo una condición de esfuerzo plano (s_z = o), la deformación unitaria resultante, e_x, viene dada por:

                                                                               (7)

Sustituyendo las ecuaciones (1) y (2) en la expresión anterior resulta:

             (8)

La deformación a través del eje diametral horizontal (y = 0) se puede encontrar integrando la ecuación (8) entre x = -d/2 y x = d/2. Esto resulta en que la deformación horizontal es igual a:

                                                                      (9)

En consecuencia, para una carga aplicada, P, ya sea monotónica o dinámica, con medición de la deformación horizontal, d_h, el módulo de Elasticidad, E, asociado vale:

                                                                        (10)

Esta fórmula se utiliza comúnmente para calcular el módulo de Elasticidad en carga monotónica, o el módulo de Elasticidad en carga cíclica, comúnmente llamado módulo de recuperación o por el anglicismo «resiliente». Un valor común para la relación de Poisson (n) para materiales asfálticos es 0.35.

Ahora bien, se puede también obtener una expresión analítica para el módulo de Elasticidad cuando se registra la deformación vertical (i.e., flujo) durante el proceso de carga, como es el caso de la prueba con marco Marshall, o con marco de tracción indirecta Lottman.

Suponiendo igualmente que el material es idealmente elástico y homogéneo, y asumiendo una condición de esfuerzo plano (s_z = o), la deformación unitaria resultante, e_y, viene dada por:

                                                                              (11)

Sustituyendo las ecuaciones (4) y (5) en la expresión anterior se tiene:

                                             (12)

La deformación a través del eje diametral vertical (x = 0) se puede encontrar integrando la ecuación (12) entre y = -d/2 y y = d/2. Esto resulta en que la deformación vertical, o flujo, es igual a:

                          (13)

De todas estas integrales la primera lleva a una indeterminación cuando el resultado es evaluado en d/2, no obstante, como el ensayo con los marcos Marshall o Lotmann no resultan precisamente en una carga concentrada sino más bien distribuida, se podría proponer que el esfuerzo s_y (ecuación 5) tiende a un valor finito cuando es evaluado en d/2, es decir, que la primera integral puede ser definida y tiene un valor constante. Atendiendo a esta suposición, luego de ser evaluada, la expresión (13) se puede escribirse de esta manera:

                                                                    (14)

                                                                                   

O bien, expresando el módulo de Elasticidad:

      

                                                                          (15)

Nota 2: Esta expresión de módulo que se presenta corresponde a la recientemente corregida por una alumna en sus tesis de grado utilizando el software de integración Maple 10.0. La anterior tenía la forma

 





Donde «a» es el mencionado valor constante que puede ser determinado de manera experimental comparando con resultados obtenidos mediante ensayos con medición de deformación horizontal.

Fíjense en la expresión 15 como el parámetro que controla el módulo elástico es el cociente estabilidad/flujo, porque precisamente está formado por las únicas dos variables. Este cociente lo hemos visto antes ser recomendado en otras investigaciones como parámetro de control.

Ahora bien, ¿cómo se obtiene el valor de «a»? Lo que se me ocurrió hacer fue preparar quince parejas especímenes de una mezcla asfáltica, elaborándolos como un experimento factorial de dos niveles. A cada pareja se le da el mismo tratamiento de contenido de asfalto y de energía de compactación, a fin evaluar la variación del módulo elástico en un rango de trabajo. 

En el primer grupo, cada uno de los quince especímenes se ensaya con marco Lottman, midiendo deformación horizontal, determinando en cada uno el módulo elástico por la fórmula cerrada (10). Con esta información elaboro un gráfico de contorno para módulo elástico en el marco contenido de asfalto versus peso unitario bulk.

En el segundo grupo, cada espécimen se ensaya con marco Marshall, midiendo estabilidad y flujo. Con el contenido de asfalto y el peso unitario bulk de cada espécimen se entra en el gráfico de contorno obtenido en el paso anterior para encontrar el módulo elástico que tendría la mezcla en esa condición. Luego, con cada valor de módulo elástico se obtiene el valor de «a» despejándolo de la fórmula (15).

La mezcla asfáltica utilizada corresponde a una granulometría COVENIN Tipo IV, densa, con agregados provenientes de la cantera El Alpargatón (piedra picada, arrocillo-polvillo), y la arenera El Peñón (arena), todos en el centro de Venezuela. La gradación se ajusta satisfactoriamente a un modelo Fuller (ver expresión 16) con parámetros D_max = 23.1 mm y n = 0.40. El desgaste en la máquina de Los Ángeles es de apenas 22.6%, el equivalente de arena es de 59%, el número de caras producidas por fractura es de 88%. Los pesos específicos de la combinación de agregados resultaron: G_sb = 2.565 (bulk), G_se = 2.756 (efectivo).

                                                                                     (16)

donde p_i es cualquier proporción pasante (en %), D_max es el tamaño máximo de la gradación, n es el coeficiente de forma, y D_i es el diámetro correspondiente a p_i, en mm.

Los resultados de elaboración y ensayo de especímenes del grupo Lottman se resumen en las tablas 1, 2 y 3, para energías de compactación de 50, 75 y 100 golpes/cara. En cada tabla se adjuntan también los valores módulo de Elasticidad (E) asociados a los valores de estabilidad (P) y flujo horizontal (d_h) correspondientes (Nota: por cuestiones del tipo de equipo utilizado, este flujo horizontal solo se midió en uno de los lados; para esta investigación se supondrá que el ensanchamiento horizontal total es igual a dos veces el flujo medido, por lo tanto el módulo de elasticidad real es la mitad del que aparece en las tablas 1, 2 y 3). 

Se tomó un diámetro de briqueta de 4” y coeficiente de Poisson = 0.35. Con los datos de estas tablas se trazó una gráfica de contorno para módulo de Elasticidad en el marco contenido de asfalto (P_b) vs. densidad (G_mb), (ver Figura 2).

Figura 2. Contono de módulo elástico a partir de datos de tablas 1, 2 y 3.

Los resultados de elaboración y ensayo de especimenes del grupo Marshall se resumen en las tablas 4, 5 y 6, para energías de compactación de 50, 75 y 100 golpes/cara. En cada tabla se adjuntan también los valores de módulo de Elasticidad correspondientes al contenido de asfalto y a la densidad de las briquetas, leídos de la Figura 2 (E*) (Nota: para corregir el inconveniente de medir el flujo horizontal por un solo lado, se dividen estos módulos por dos para calcular el valor de «a»). Así mismo, se muestran en cada tabla los valores calculados de la constante a, a partir de la expresión 15.

Finalmente, se graficaron los valores de módulo de Elasticidad y constante a para evaluar si existe alguna influencia de la rigidez de la briqueta en la magnitud de dicha constante. Esta relación se muestra en la Figura 3. (Haciendo notar que de entrada hemos supuesto a "a" como constante).

Figura 3. Variación de la "constante" a.

Aunque el valor que hemos supuesto como constante presenta variaciones (que ya sabíamos que iba a tener pues, por ejemplo, la forma de carga en Marshall dista de la forma idealizada), sin embargo, a partir de esta gráfica puedo establecer el valor de «a» como constante en 9. Es de hacer notar que la fórmula original que obtuvimos en 2005 produjo un valor de 22 para esta misma mezcla. De modo que este sería el efecto de la corrección de la fórmula obtenida recientemente por mi alumna Zedileth Zambrano.

Aprovechando el uso de un equipo totalmente automatizado, la Ing. Zambrano evaluó también la relación entre el módulo de Elasticidad secante, que se obtiene a partir de la estabilidad y el flujo, y el tangente, que es la pendiente máxima de la curva esfuerzo deformación (Figura). En la gráfica siguiente se muestra la variación de la relación entre ambos módulos para el rango de valores de estabilidad estudiados. Se aprecia como esta relación, según la data de Zambrano, tiende a un promedio de 1.6. Es decir, para convertir el módulo secante en tangente habría que multiplicar por 1.6.

Figura 3. Relación entre módulo tangente y secante.

Finalmente, con toda esta información, es decir, con la fórmula semi-empírica para calcular el módulo, el valor del parámetro «a», y la constante de transformación de módulo secante a tangente, se puede analizar cuál sería el valor del módulo elástico que tendría una mezcla asfáltica que cumple con las más comunes especificaciones Marshall de estabilidad y flujo.

Las especificaciones para estabilidad y flujo bajo tráfico alto, que aparecen en el manual MS-2 del Instituto Norteamericano del Asfalto establecen que una mezcla deberá presentar una estabilidad igual o mayor que 1800 libras, y que el flujo debe estar entre 8 y 14 centésimos de pulgada. Si interpretamos esta especificación utilizando la formulación matemática desarrollada aquí obtendríamos una gráfica como la de la Figura 5, que nos muestra un recuadro dentro del cual se encuentran todos los posibles módulos de elasticidad que podría tener una mezcla asfáltica al cumplir con estas especificaciones. Se sabe que para la estabilidad no hay tope, pero también se entiende que valores más altos de 5 mil libras son raros.

Figura 5. Significado de las especificaciones Marshall en el módulo de una MAC.

De modo que, según esta gráfica, de cumplir con las especificaciones, la mezcla analizada podría presentar módulos de elasticidad, en carga monotónica y a 60 grados centígrados, en el rango de un poco menos que 50 mil psi a 175 mil psi. ¿Impresionante, no?

Espero sus comentarios. Ojalá puedan repetir esta experiencia en sus laboratorios con propias mezclas, o al menos utilizar esta formulación por curiosidad para evaluar sus diseños.

Nos leemos.

Freddy J. Sánchez-Leal

@ramcodesCEO